如图，CB是半圆的直径，AC与半圆相切于C点，AB与半圆相交于D点，在AC上任取一点E，连接BE交半圆于F点．求证：AB?BD=EB?BF．

网友回答

证明：证法一：连接CD、CF；
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，∠CFB=90°；
又∵AC与圆相切于C点，CB是圆的直径，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，BC2=BD?BA，在Rt△EBC中，BC2=BF?BE；
∴BD?BA=BF?BE，即AB?BD=EB?BF．

证法二：连接CD、DF；
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF，
又∵AC切⊙O于C，CB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠BDC=90°；
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF；
又∵∠DBF=∠EBA（同角）
∴△DBF∽△EBA，
∴BD：EB=BF：AB，
∴AB?BD=EB?BF．
解析分析：本题解法较多，提供两种作为参考；
（1）连接CD、CF；由圆周角定理，易知CF⊥BE，CD⊥AB；在Rt△CBE、Rt△CBA中，由射影定理可知：AB?BD及BE?BF正好都等于BC2，由此得解．
（2）将所求的乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即连接DF、CD，证△BDF∽△BEA．

点评：此题主要考查的是圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质．