如图,△ABC中,BA=BC=10,AC=12,∠ABC、∠BAC的角平分线交于I点,求线段AI的长.
网友回答
解:延长BI交AC于D,过I作IE⊥AB于E.
∵BA=BC,BI平分∠ABC,
∴ID⊥AC,AD=DC=6,
∵AI平分∠BAC,
∴IE=ID,
∴△AID≌△AIE(HL),
∴AE=AD=6,
在Rt△ABD中,由勾股定理得BD==8,
设ID=x,则BI=8-x,
∵BE=AB-AE=4,
在Rt△IEB中由勾股定理得42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
在Rt△IEA中由勾股定理得AI==.
解析分析:延长BI交AC于D,过I作IE⊥AB于E.根据角平分线的性质和公共边可证△AID≌△AIE(HL),由全等三角形的性质可得AE=AD=6,再运用勾股定理即可求得线段AI的长.
点评:本题考查了角平分线的定义,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质,综合性较强,难度中等.