如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=113，求Rt△BCD与Rt△ACD的周长之比．

网友回答

解：设BC=a，CA=b，AB=c，
∵Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴，即BC2=BD?BA，
∴a2=113c．
因a2为完全平方数，且11是质数，
∴c为11的倍数，令c=11k2（k为正整数），则a=112k，
于是由勾股定理得b==11k，又因为b为整数，
∴k2-112是完全平方数，令k2-112=m2，则（k+m）（k-m）=112，
∵（k+m）＞（k-m）＞0且11为质数，
∴，于是a=112×61，b=11×61×60，
又∵Rt△BCD∽Rt△CAD，
∴它们周长的比等于它们的相似比．
即==．
解析分析：根据题意易证△BCD∽△BAC，利用相似三角形的性质及勾股定理列式，解方程组即可解答．

点评：解答此题是要根据题意列出方程，把解三角形转化成解方程的形式解答．