已知:如图①,②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是边BC,CD上的点.
(1)如图①,若AP⊥PQ,BP=2,求CQ的长;
(2)如图②,若,且E,F,G分别为AP,PQ,PC的中点,求四边形EPGF的面积.
网友回答
解:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°,
∴∠CPQ+∠PQC=90°,
∵AP⊥PQ,
∴∠CPQ+∠APB=90°,
∴∠APB=∠PQC,
∴△ABP∽△PCQ,
∴,即,
∴CQ=3;
(2)解法一:取BP的中点H,连接EH,由,
设CQ=a,则BP=2a,
∵E,F,G,H分别为AP,PQ,PC,BP的中点,
∴EH∥AB,FG∥CD,
又∵AB∥CD,∠B=∠C=90°,
∴EH∥FG,EH⊥BC,FG⊥BC,
∴四边形EHGF是直角梯形,
∴EH=AB=2,FG=CQ=a,HP=BP=a,HG=HP+PG=BC=4,
∴S梯形EHGF=(EH+FG)?HG=(2+a)?4=4+a,S△EHP=HP?EH=a?2=a,
∴S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP=4+a-a=4;
解法二:连接AQ,由=2,设CQ=a,则BP=2a,DQ=4-a,PC=8-2a,S△APQ=S矩形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ
=4×8-?2a?4-(8-2a)a-×8(4-a)
=a2-4a+16
∵E,F,G分别是AP,PQ,PC的中点
∴EF∥AQ,EF=AQ.∴△PEF∽△PAQ
∴,S△PEF=S△APQ=(a2-4a+16)
同理:S△PFG=S△PCQ=a(8-2a)
∴S四边形EPGF=S△PEF+S△PFG
=(a2-4a+16)+a(8-2a)=4.
解析分析:(1)、由同角的余角相等可得∠APB=∠PQC,故△ABP∽△PCQ,有,代入BP,AB,PC的值求得CQ的值;
(2)、取BP的中点H,连接EH,由三角形的中位线的性质可得四边形EHGF是直角梯形,由,设CQ=a,有BP=2a,用含a的代数式表示出EH,FG,HP,HG,两用梯形和三角形的面积公式求得S四边形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP的值.
点评:本题利用了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形和梯形的面积公式求解.