如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对

网友回答

解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

，
解得，
故抛物线为y=-x2+2x+3；
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3），
得，
解得，
故直线AC为y=x+1；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=1时，y=x+1=2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
∵F在抛物线上，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得x=或x=，
∴E（，）或（，），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）；

（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=PQ?AG
=（-x2+x+2）×3
=-（x-）2+，
∴面积的最大值为；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=（x+1）（-x2+2x+3）+（-x2+2x+3+3）（2-x）-×3×3
=-x2+x+3
=-（x-）2+，
∴△APC的面积的最大值为．
解析分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（3）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC═-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，有一定难度．解答（2）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．