如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A(0,3),交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧).B、C两点坐标分别为(2,0),(6,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标.
网友回答
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A(0,3),交x轴于B、C两点坐标分别为(2,0),(6,0),
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=x2-2x+3;
(2)相交.
证明:连接CE,则CE⊥BD,
∵抛物线交x轴于B、C两点坐标分别为(2,0),(6,0).
∴对称轴x==4,
∴OB=2,AB==,BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BEC,
∴,
即,
解得CE=,
∵>2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交;
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=-x+3;
设P点的坐标为(m,m2-2m+3),
则Q点的坐标为(m,-m+3);
∴PQ=-m+3-(m2-2m+3)=-m2+m,
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(-m2+m)×6,
=-(m-3)2+,
∴当m=3时,△PAC的面积最大为,
此时,P点的坐标为(3,-).
解析分析:(1)已知抛物线交y轴于A(0,3),交x轴于B、C两点坐标分别为(2,0),(6,0),把以上三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c,求出a,b,c的值即可求出此二次函数的解析式;
(2)根据抛物线的解析式,易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标,分别求出直线AB、BD、CE的解析式,再求出CE的长,与到抛物线的对称轴的距离相比较即可;
(3)过P作y轴的垂线,交AC于Q;易求得直线AC的解析式,可设出P点的坐标,进而可表示出P、Q的纵坐标,也就得出了PQ的长;然后根据三角形面积的计算方法,可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识.