有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币...

发布时间：2019-08-09 02:36:40

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn．
（Ⅰ）求证：∀n∈N*，点（Pn，Pn+1）恒在过定点（59，59），斜率为-12的直线上；
（Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；
（Ⅲ）用记号Sn→m表示数列{Pn-59}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…的前n项和Tn．

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（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：①第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为
2
6
=
1
3
，因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
1
3
Pn．…（3分）②第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为
5
6
，因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
5
6
(1-Pn)．∴Pn+1=
1
3
Pn+
5
6
(1-Pn)，变形得 Pn+1-
5
9
=-
1
2
( Pn-
5
9
 )．∴点（Pn，Pn+1）恒在过定点（
5
9
，
5
9
），斜率为-
1
2
的直线上．…（6分）（Ⅱ）解：P0=1，P1=
1
3
P0+
5
6
(1-P0)=
1
3
，又由（Ⅰ）知：
Pn+1-
5
9
Pn-
5
9
=-
1
2
，∴{Pn-
5
9
}是首项为P1-
5
9
=
1
3
-
5
9
=-
2
9
，公比为-
1
2
的等比数列，…（8分）∴Pn-
5
9
=-
2
9
•(-
1
2
)n-1，故所求通项公式为Pn=
5
9
+
(-1)n
9•2n-2
．…（10分）（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-
5
9
}是首项为a1=P1-
5
9
=-
2
9
，公比为q=-
1
2
的等比数列，又∵
Snk+1→(n+1)k
S(n-1)k+1→nk
=
a1qnk(1+q+…+qk-1)
a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)
=qk（k∈N*）是常数，∴S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…，也成等比数列，…（12分）且S1→k=
-
2
9
[1-(-
1
2
)k]
1+
1
2
=-
4
27
[1-(-
1
2
)k]从而 Tn=
S1→k(1-qkn)
1-qk
=
-
4
27
[1-(-
1
2
)k]•[1-(-
1
2
)kn]
1-(-
1
2
)k
=-
4
27
[1-(-
1
2
)kn]．…（14分）解法二：Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S（n-1）k+1→nk=a1+a2+…+ank=
-
2
9
[1-(-
1
2
)nk]
1+
1
2
=-
4
27
[1-(-
1
2
)nk]．…（14分）
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