有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币...

发布时间：2019-08-09 02:39:04

有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6点时,如果硬币正面朝上,则不翻动硬币;否则,翻动硬币,使正面朝上.按以上规则,在骰子掷了n次后,硬币仍然正面朝上的概率记为Pn.
(Ⅰ)求证:∀n∈N*,点(Pn,Pn+1)恒在过定点(59,59),斜率为-12的直线上;
(Ⅱ)求数列{Pn}的通项公式Pn;
(Ⅲ)用记号Sn→m表示数列{Pn-59}从第n项到第m项之和,那么对于任意给定的正整数k,求数列S1→k,Sk+1→2k,…,S(n-1)k+1→nk,…的前n项和Tn.

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(Ⅰ)证明:设把骰子掷了n+1次,硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1,此时有两种情况:①第n次硬币正面朝上,其概率为Pn,且第n+1次骰子出现1点或6点,硬币不动,其概率为
2
6
=
1
3
,因此,此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
1
3
Pn.…(3分)②第n次硬币反面朝上,其概率为1-Pn,且第n+1次骰子出现2,3,4,5点或6点,其概率为
5
6
,因此,此种情况下产生硬币正面朝上的概率为
5
6
(1-Pn).∴Pn+1=
1
3
Pn+
5
6
(1-Pn),变形得 Pn+1-
5
9
=-
1
2
( Pn-
5
9
 ).∴点(Pn,Pn+1)恒在过定点(
5
9
,
5
9
),斜率为-
1
2
的直线上.…(6分)(Ⅱ)P0=1,P1=
1
3
P0+
5
6
(1-P0)=
1
3
,又由(Ⅰ)知:
Pn+1-
5
9
Pn-
5
9
=-
1
2
,∴{Pn-
5
9
}是首项为P1-
5
9
=
1
3
-
5
9
=-
2
9
,公比为-
1
2
的等比数列,…(8分)∴Pn-
5
9
=-
2
9
•(-
1
2
)n-1,故所求通项公式为Pn=
5
9
+
(-1)n
9•2n-2
.…(10分)(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知{Pn-
5
9
}是首项为a1=P1-
5
9
=-
2
9
,公比为q=-
1
2
的等比数列,又∵
Snk+1→(n+1)k
S(n-1)k+1→nk
=
a1qnk(1+q+…+qk-1)
a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)
=qk(k∈N*)是常数,∴S1→k,Sk+1→2k,…,S(n-1)k+1→nk,…,也成等比数列,…(12分)且S1→k=
-
2
9
[1-(-
1
2
)k]
1+
1
2
=-
4
27
[1-(-
1
2
)k]从而 Tn=
S1→k(1-qkn)
1-qk
=
-
4
27
[1-(-
1
2
)k]•[1-(-
1
2
)kn]
1-(-
1
2
)k
=-
4
27
[1-(-
1
2
)kn].…(14分)解法二:Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S(n-1)k+1→nk=a1+a2+…+ank=
-
2
9
[1-(-
1
2
)nk]
1+
1
2
=-
4
27
[1-(-
1
2
)nk].…(14分)
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