在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

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试题答案：解：（1）设点P的坐标为（x，y）， 由，得点M是线段FT的中点，则，，又，由，得，①由，得（﹣1﹣x）×0+（t﹣y）×1=0，∴t=y                                                ②由①②消去t，得y2=4x即为所求点P的轨迹C的方程（2）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），则设直线AB方程为x=my+1，得y2﹣4my﹣4=0，∴，∴y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=16m2+8，∴               =               =               =﹣t=2k∴k1，k，k2成等差数列