已知函数f(x)=2-cos^2x-2asinx,x∈R (1)求函数的最小值g(a)若f（x）的图像始终分布在x轴的上方,求a的取值范围
网友回答
首先先对函数做一下处理
f(x)=2-cos²2x-2asinx=2-(1-2sin²x)-2asinx
=2sin²x-2asinx+1
令sinx=t ,t∈[-1.1]
则原问题转化为对函数h(t)=2t²-2at+1=2(t-0.5a)²+1-0.5a²的讨论.
(1)①当0.5a≥1即a≥2时.
此时函数在[-1.1]上为减函数.
所以此时g(a)=h(1)=-2a+3
②当0.5a≤-1即a≤-2时.
此时函数在[-1.1]上为增函数
此时g(a)=h(-1)=2a+3
③当-2＜a＜2时,
此时g(a)=-0.5a²+1
综上所述,g(a)是一个分段函数,具体关系如下
当a≤-2时 g(a)=2a+3
当-2＜a＜2时 g(a)=-0.5a²+1
当a≥2时 g(a)=-2a+3
(2)由题意h(t)=2t²-2at+1＞0在[-1.1]上恒成立
由(1)可知只需g(a)＞0成立即可
当a≤-2时 g(a)=2a+3
＞0得a＞-3/2＞-2不合题意,舍去
当-2＜a＜2时 g(a)=-0.5a²+1
＞0得-根号2＜a＜根号2故此时a∈(-根号2,根号2)
当a≥2时,g(a)≤g(2)=-1＜0
因此也不合题意
综上,所求a的取值范围是(-根号2,根号2)