nSn+1=(n+2)Sn+an+2 求证a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件

网友回答

(1)由nSn+1=(n+2)Sn+an+2……(*)
变形为n(Sn+1-Sn)=2Sn+an+2,而Sn是{an}前n项和,
于是有nan+1=2Sn+an+2,a1=0,在n=1时,a2=2a1+a1+2=2,
则a2=2,在n=2,2a3=2(a1+a2)+a2+2=4+4=8,则a3=4.(4分)
(2)必要性:
由(1)可知nan+1=2Sn+an+2恒成立,则(n-1)an=2Sn-1+an-1+2(n≥2)……(* *)
若{an}是等差数列,则an-an-1=d(n≥2),且an=a1+(n-1)d.(*)-(**)式得:
n(an+1-an)=2an-an-1,∴nd=an+d=a1+(n-1)d+d,∴a1=0.
从而必要性得证.(8分)
充分性:由(1)可猜测到:an=2n-2.下面先用数学归纳法证明:an=2n-2.
①在n=1时,a1=2×1-2=0与已知a1=0一致,故n=1时,an=2n-2成立.
②假设n≤k时,an=2n-2成立,
∴Sk=a1+a2+…+ak=0+2+4+…+2(k-1)=k(k-1)
∵(*)式nan+1=2Sn+an+2恒成立,
则kak+1=2Sk+ak+2=2k(k-1)+(2k-2)+2=2k2,∴ak+1=2k=2[(k+1)-1].
故n=k+1时,an=2n-2成立,综合①②可知:an=2n-2成立对n∈N*恒成立.
∴数列{an}的通项为an=2n-2,∴an-an-1=2(n≥2,n∈N*)
由等差数列定义可知{an}是等差数列,从而充分性得证.
综合以上得a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件.
下面有,第18题