0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意

网友回答

设 e1 =b/|b|, 可以有单位正交基： e1,e2,.,en.
在这组基下, 向量b的坐标为 (b1,0,...,0)', 向量a的坐标为(a1,.,an)', 其中 a1*b1 = a‘b >0. H 所对应的线性变换在基{e1,e2,...,en}下, 成为：
E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1)
任给列向量 x, 设其在基{e1,e2,...,en}下坐标为 (x1,...xn)'
则 x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x
=x'Ex - x' (bb')/b1^2 x + x' (aa')/(a1*b1) x
=(x1^2+...+xn^2) - x1^2 + 1/(a1b1) * (x'a)*(a'x)
= x2^2 + ...+ xn^2 + 1/(a1b1) * (a1x1 + ...+anxn)^2
>= 0 而 如果 其= 0, 则有：
x2^2 + ...+ xn^2 = 0 =====》 x2=...=xn=0
a1x1 + ...+anxn=0 ====> x1=0即：如果 |x|>0 则 x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x >0所以H 所对应的线性变换是正定变换,于是 H必为正定矩阵.