请教两个线性代数关于相似三角化的题1.假如一个三阶矩阵可以三角化,那一般三角化的步骤就是求特征值,然后根据特征值求出不相关的特征向量,然后P=(a1,a2,a3) P(-1)AP就可以求了.但是为什么如果是对称阵的话,还要正交化和归一化?2.按上面做的话P(-1)AP=以特征值为元素的对角阵.这个怎么证明?分不多,麻烦大家了,主要是第一问
网友回答
1....然后P=(a1,a2,a3) P(-1)AP就可以求了.
这是相似对角化,要求P是可逆矩阵.
一个方阵并不一定可以相似对角化
但对实对称矩阵来说,它一定可对角化,并可正交对角化
即存在 正交矩阵Q 满足 Q^-1AQ 是对角矩阵.
这里多了一个要求,就是Q是正交矩阵.所以在求特征向量时需正交化和单位化.
2.你把 P^-1AP = diag(a1,a2,...,an) 变形为
AP =P diag(a1,a2,...,an)
再把P = (p1,p2,...,pn) 代入,即得
(Ap1,Ap2,...,Apn) = (a1p1,a2p2,...,anpn)
即有 Api = aipi
故 ai是A和特征值,pi是A的属于ai的特征向量.
反之可同样考虑.