如图，等边△ABC的边长为2，动点P，Q在线段BC上移动（都不与B，C重合），点P在Q的左边，PQ=1，过点P作PM⊥CB，交AC于M，过点Q作QN⊥CB，交AB于N

网友回答

解：（1）解法一：∵四边形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠MPC=∠NQB=90°，
∴△MPC≌△NQB，
∴CP=BQ=t，
又∵PQ=1，CP+PQ+BQ=2，
∴t+1+t=2，即t=；
解法二：∵△ABC是等边三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP?tanC=t?tan60°=t，
QN=BQ?tanB=（1-t）tan60°=（1-t），
∵四边形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，
即：，
解得：；

（2）S是定值，同（1）中解法二有：∴，
∴；

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP与△AMN相似，对应的顶点只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，
①当C→A，P→N，M→M时，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t）
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴，
解得：；
②当C→A，P→M，M→N时，由△CMP∽△ANM得：，
∴，解得：，
综合，所求或．
当t=时，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN即△MNP是等边三角形．
解析分析：（1）可用两种方法：
①根据△ABC是等边三角形及PM⊥CB，QN⊥CB且PM=NQ，得出△MPC≌△NQB，从而求出t的值；
②由于四边形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，据此列出关于t的等式，解方程即可．
（2）根据（1）中所求PM、QN的表达式，利用梯形面积表达式即可求出S关于t的函数关系式；
（3）根据对应点和对应边的不同，会得到不同的相似三角形，再分两种情况讨论．

点评：此题是一道动点问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质和矩形的性质列出关于t的等式解答．