发布时间：2021-02-19 16:22:38
已知函数f (x)= ln(ex + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g (x)=
f(x) + sinx是区间[–1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g (x)≤t2 +t+ 1在x∈[–1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．
【解析】（1）由于f (x) 是R上的奇函数，f (0) = 0，故a = 0．……………………3分
（2）∵g (x)在[–1，1]上单调递减，∴时恒成立
，
∴只要
∴(t + 1)+t2 + sin1 + 1≥0(其中≤–1)恒成立．……………………5分
令
则
∴t≤–1．………………………………………………………………………………8分
（3）由（1）知．∴方程为
令f1(x) =，f2(x)= x2 – 2ex + m，
∵
当x∈(0，e)时，，∴在(0，e]上为增函数；
当x∈(e，+∞)时，，∴在（e，+∞)上为减函数；
当x = e时．
而
∴当时，即时方程无解．
当时，即时方程有一解．
当时，即时方程有二解．………………………………………13分