25．已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；②拓展运用：如图3,当△AEF面积
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（1）证明：如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心．
①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．
②1/DM+1/DN为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P,由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y（x≠0．y≠O）,则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴CN/DN=CG/DM,
∴(y-1)/y=(1-x)/x,
∴x+y=2xy,
∴1/x+1/y=2,即1/DM+1/DN=2．我做过这题