【大一数学分析】求证广义罗尔微分中值定理,利用微分中值定理证明f(x,y)为一常数函数

网友回答

证明：
　　（i）先设A有穷，
　　由f(a+0)=f(b–0)=A，
　　不失一般性，不妨设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A（f(c)>A情况相似），
　　若c为最小值，则由费马定理知f'(c)=0，原命题成立，
　　否则，c处不取最小值，则存在d使B=f(d)<f(c)，
　　则由f(x)连续性（可导必连续）及介值定理，
　　知(a,c),(c,b)内分别存在点x1，x2，使得f(x1)=f(x2)=A-η属于(B,A)，
　　则对区间(x1,x2)内的连续函数f应用“狭义”罗尔定理知存在ξ∈(x1,x2)包含于(a,b),使得f'(ξ)=0。
　　（ii）A为+∞或–∞时，可进行类似于（i）的讨论，
　　但需要注意的是，若A为+∞，则设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A，
　　而若A=-∞，则应设(a,b)内存在一点c使得f(c)>A。
　　
　　望采纳！以后有什么不懂的可以跟我说，我也是学数学的！

网友回答

对D中任意一点(x,y)，记一元函数
　　g(t) = f(tx, ty),0<=t <=1
　　对任意的t,(tx,ty)都在单位圆中，所以上式有定义
　　对t求导，由链式法则
　　g'(t) = f_x(tx,ty)x + f_y(tx,ty)y
　　当t不为0时,f_x(tx,ty)tx + f_y(tx,ty)ty = 0，所以g'(t) = 0
　　对于一元函数g(t)，导数g'(t)在(0,1)上恒为0，由微分中值定理可知g(t)为常数
　　所以g(1) = f(x,y) = g(0) = f(0,0)
　　所以f(x,y)在单位圆中为常数