已知：如图，⊙O2过⊙O1的圆心O1且与⊙O1内切于点P．弦AB切⊙O2于点C，PA、PB分别与⊙O2交于D、E两点，延长PC交⊙O1于点F．
求证：
（1）BC2=BE?BP；
（2）∠1=∠2；
（3）CF2=BE?AP．
网友回答
证明：（1）连接CE，
∵BC是⊙O2的切线，
∴∠2=∠BCE，
又∵∠B=∠B，
∴△BCE∽△BPC，
∴，
∴BC2=BE?BP；
（2）作⊙O1与⊙O2的公切线PM，
∵∠MPC=∠CEP，∠MPA=∠B，
∴∠1=∠MPC-∠MPA=∠CEP-∠B，
又∠CEP-∠B=∠BCE，
∴∠1=∠BCE，
又∵AB切⊙O2于C，
∴∠BCE=∠2，
∴∠1=∠2；
（3）连接O1P、O1E、O1C，
∵P是切点，
∴O1P是直径，
∴O1E⊥PB，
∴BE=EP，①
同理，FC=PC，②
在△ACP和△CEP中，∵AC是切线，
∴∠ACP=∠CEP，
又∠1=∠2，
∴△ACP∽△CEP，
∴，
∴CP2=AP?EP，
将①、②式代入，得CF2=BE?AP．
解析分析：（1）连接CE，利用弦切角定理易得∠2=∠BCE，再加一组公共角，易证△BCE∽△BPC，可得比例线段，从而可证；
（2）作⊙O1与⊙O2的公切线PM，利用弦切角定理、结合三角形外角性质易证∠1=∠BCE，再利用弦切角定理可证∠1=∠2；
（3）连接O1P、O1E、O1C，由于O1P是小圆的直径，那么∠O1CP=90°，利用垂径定理，可证CF=CP①，同理可证BE=EP②，利用弦切角定理易得∠ACP=∠ECP，结合（2）中的结论，易证△ACP∽△CEP，可得比例线段，再把①②代入，化简即可得证．
点评：本题主要利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、等量代换等性质．