如图,直线y=x+b(b<0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线于点D,过D作两坐标轴的垂线DC、DE,连接OD.
(1)求证:DA平分∠CDE.
(2)是否存在直线AB.使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
(3)当△AOD的面积为3时,求直线AB的解析式.
网友回答
(1)证明:∵直线y=x+b(b<0)交坐标轴于A、B两点
∴A(-b,0),B(0,b),
∴∠OAB=45°,
又∵过D作两坐标轴的垂线DC、DE,
∴∠EDC=90°,DC∥BE,
∴∠CDA=∠OAB=45°,
∴∠CDA=∠EDA=45°,
即:DA平分∠CDE;
(2)解:存在直线AB.使得四边形OBCD为平行四边形
∵点B在y轴上,O为原点,DC⊥x轴
∴OB∥DC
要使得四边形OBCD为平行四边形,使OB=DC即可,即|b|=x+b(b<0)得x=-2b
又∵直线y=x+b(b<0)交双曲线于点D,
∴得b=-2
∵b=-2时OB∥DC且OB=DC
∴由平行线的判定定理可得四边形OBCD为平行四边形
∴此时直线的解析式为:y=x-2;
(3)解:△AOD的面积S=×DC×OA=×(x+b)×|b|=3(b<0),
得x=--b,代入直线AB和双曲线可得
,得b=-3
∴此时直线AB的解析式为:y=x-3.
解析分析:①欲证明DA平分∠CDE,则是∠EDA=∠ADC=45°即可;
②使得四边形OBCD为平行四边形只需证明OB∥DC且OB=DC即可;
③SAOD=DC×OA.
点评:本题主要考查了反比例函数,一次函数以及平行线判定定理.解答此题时要运用数形结合的思想.