已知二次函数f(x)=x2-ax+c,(其中c>0).
(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值;
(2)当f(x)为偶函数时,若函数,指出g(x)在(0,+∞)上单调性情况,并证明之.
网友回答
解:(1)f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),…
即(-x)2+ax+c=x2-ax+c,
即2ax=0恒成立 …
∴a=0 …
(2)由(1),若f(x)为偶函数,则a=0,
∴==x+,x∈(0,+∞)
当x∈(0,+∞)时,g(x)在x∈(0,)上单调递减,在x∈(,+∞)上单调递增,证明如下:…
设任意x1,x2∈(0,),且x1<x2,
g(x1)-g(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2) …
∵x1,x2∈(0,),且x1<x2,
∴x1-x2<0,x1˙x2<c
即x1˙x2-c<0
∴(x1-x2)>0,
即g(x1)-g(x2)>0
即g(x1)>g(x2)
∴g(x)在(0,)上单调递减 …
同理,可得g(x)在(,+∞)上单调递增 …
解析分析:(1)若函数f(x)为偶函数,根据偶函数定义可得f(-x)=f(x),结合多项式相等的条件,求出a的值;
(2)结合(1)中结论,可得g(x)为对勾函数,利用作差法,可证明其单调性.
点评:本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的单调性,其中根据函数奇偶性的定义,求出a值是解答的关键.