如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．（1）求证：点E为BC中点；（2）若tan∠EDC=，AD=5

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解：（1）连结OD，BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，
∴BC是⊙O切线，
∵DE是⊙O切线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴BE=CE；

（2）∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，
∴∠C=∠ABD=∠EDC，sinC=，
∴cosC==，tanC=，
Rt△ABD中，DB==5×，
Rt△BDC中，BC==5××=6，
又点E为BC中点，
∴DE=BC=3．
解析分析：（1）连接OD，BD，由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB为直角，再由∠ABC为直角，得到BC为圆O的切线，利用切线长定理得到ED=EB，利用等边对等角得到一对角相等，由∠ADB为直角，得到两对角互余，利用等角的余角相等得到∠C=∠EDC，利用等角对等边得到DE=CE，等量代换即可得证；
（2）由sin∠EDC的值，得到sinC的值，再由∠ABD=∠C，由sinC的值求出tanC的值，即为tan∠ABD的值，在直角三角形ABD中，由AD与tan∠ABD的值，求出DB的长，在直角三角形BCD中，由DB与sinC的值，求出BC的长，根据E为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE的长．

点评：此题考查了切线的性质，以及解直角三角形，涉及的知识有：切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．