如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于E,DE⊥BE.
(1)已知DE=4,BE=6,求tan∠CBE的值.
(2)证明:AC是⊙O的切线.
网友回答
解:(1)∵DE⊥BE,∴∠BED=90°.
在Rt△BED中,DE=4,BE=6,
则tan∠EBD==.
又∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠CBE=∠EBD,
∴tan∠CBE=tan∠EBD=;
(2)连接OE.
∵OE=OB(圆O的半径),
∴∠EBO=∠OEB(等边对等角).
又∵∠CBE=∠EBD,即∠CBE=∠EBO(角平分线的性质),
∴∠OEB=∠CBE(等量代换),
∴BC∥OE(内错角相等,两直线平行).
又∵∠C=90°,
∴∠OEA=90°,即OE⊥AC,
又∵点E在⊙O上,
∴AC是⊙O的切线.
解析分析:(1)根据角平分线的性质和锐角的正切函数的定义求得tan∠CBE=tan∠EBD=;
(2)连接OE.欲证AC是⊙O的切线,只需证明OE⊥AC即可.
点评:本题考查了切线的判定、解直角三角形.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.