如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE

网友回答

（1）证明：连接AC，
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．

（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE=，
∴在Rt△ACE中，AC=；

法一：由（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，
∴DE⊥AC，DE=2EH；
在Rt△AEC中，，
∴EH=，
∴DE=2EH=2×=．

法二：在Rt△AEC中，∠2+∠6=90°，
在Rt△AEH中，∠5+∠6=90°，
∴∠2=∠5；
∵AD=AE，AB=BC，
∴∠5=∠7，∠CAB=∠2，
∴∠7=∠CAB，
∴△ADE∽△BAC；
∴，即，
∴．
解析分析：（1）连接AC，首先可通过DG∥AB，AB=BC证得AC为∠DCE的角平分线，从而得到△ADC≌△AEC，可知CD=CE；再由∠FDC=∠GEC=90°，∠FCD=∠GCE，可判定△FDC≌△GEC，即可得CF=CG．
（2）由已知条件，可求得AE、AC的长，法一：可利用C、A分别是DE垂直平分线上的点，并通过解直角三角形AEC的面积求得EH的长，从而得到ED的长．法二：通过证明△ADE∽△BAC可得=，从而求得DE的长．

点评：解此题的关键在于作好辅助线，涉及到直角梯形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的运用、垂直平分线的运用、相似三角形的判定等知识点，是一道考查学生综合能力的一道好题．