发布时间：2021-02-20 14:15:22
如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.
（Ⅰ）连接，由条件可得∥.
因为平面，平面，
所以∥平面.
（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，
所以，
又因为四边形是正方形，所以.
因为，所以.
又因为，所以平面平面. -
（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2，
则，，，
，，.
所以，.
设（），由已知可求得.
所以，.
设平面法向量为，
则 即
令，得.
易知是平面的法向量.
因为，
所以，所以平面平面. -------------------（8分）
（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量为.
因为，
所以是平面的一个法向量.
由已知二面角的大小为.
所以，
所以，解得.
所以点是的中点.
【解析】略