x平方+x+1的和的平方分之一的不定积分

网友回答

原式=∫ dx/[ (x+1/2)^2+3/4]^2
=∫ d(x+1/2)/{(3/4)[ 2(x+1/2)/√3]^2+1}^2
=(4/3)(√3/2)∫ d[2(x+1/2)/ √3]/{[ 2(x+1/2)/√3]^2+1}^2
设2(x+1/2)/√3为u,
原式=(2/√3)∫ du/(1+u^2)^2
设u=tant,du=(sect)^2dt,
t=arctanu,
cost=1/√(1+u^2),
sint=u/√(1+u^2),
原式=(2/√3)∫ (sect)^2dt/(sect)^4
=(2/√3)∫ (cos)^2dt
=(1/√3)∫ (1+cos2t)dt
=√3t/3+(√3/6)sin2t+C
=(√3/3)arctanu+(√3/3)*[u/√(1+u^2)][1/√(1+u^2)]+C
=(√3/3)arctan[(2x+1)/√3]+[(√3/3)(2x+1)/√3]/[1+(2x+1)^2/3]+C
=(√3/3)arctan[(2x+1)/√3]+(3/4)(2x+1)/(x^2+x+1)+C.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
见图 x平方+x+1的和的平方分之一的不定积分(图1)
供参考答案2:
这里有递推公式的，方法特殊：
∫1/(x^2+x+1)dx (先用分部积分）
=x/(x^2+x+1)-∫x(-2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx
=x/(x^2+x+1)-∫x(-2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx
=x/(x^2+x+1)+2∫1/(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(2x+1)/(x^2+x+1)^2dx-(3/2)∫1/(x^2+x+1)^2dx
所以：∫1/(x^2+x+1)^2dx
=(2/3)x/(x^2+x+1)+(2/3)∫1/(x^2+x+1)dx+(1/3)/(x^2+x+1)
=(1/3)(2x+1)/(x^2+x+1)+(2/3)∫1/((x+1/2)^2+3/4)dx