如图,已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,直线CD、EF过点B交⊙O1于点C、E,交⊙O2于点D、F.
(1)求证:△ACD∽△AEF;
(2)若AB⊥CD,且在△AEF中,AF、AE、EF的长分别为3、4、5,求证:AC是⊙O2的切线.
网友回答
证明:(1)∵在⊙O1中,∠C=∠E,
∵∠D=∠F,
∴△ACD∽△AEF;
(2)∵AB⊥CD,即∠ABD=90°,
∴AD是⊙O2的直径,
∵在△AEF中,AF2+AE2=32+42=52=EF2,
∴∠EAF=90°,
由(1)得△ACD∽△AEF,
∴∠CAD=∠EAF=90°,
∴AC⊥AD,
又∵AD是⊙O2的直径,
∴AC是⊙O2的切线.
解析分析:(1)两角对应相等可以判定△ACD∽△AEF.
(2)由勾股定理得出∠EAF=90°,证明AC是⊙O2的切线,AC⊥AD是关键,通过△ACD∽△AEF得以证明.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质及切线的判定的综合运用.