定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（xb）=bf（x）．
（1）求f（1），f（），f（），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．
网友回答
解：（1）∵对任意实数b，f（xb）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（100）=0×1=0，
f（）=f（10lg）=lg×1=lg
f（）=f[（）2]=2f（）=2lg．
因为f（k-1002）=f（10lg（k-1002））=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）设x，y∈（0，+∞），
当x≠1时，
f（xy）=f（x?）
=
=（1+logxy）f（x）
=f（x）+logxy?f（x）
=f（x）+f（）
=f（x）+f（y）．
当x=1时，因为f（1）=0也适合，
故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，
f（x）=f（10lgx）=lgx?f（x）=lgx＞0，
设0＜x1＜x2，则＞1，所以f（）＞0．
由（2）知f（x2）=f（?x1）=f（）+f（x1）＞f（x1），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数
解析分析：（1）由已知中对任意实数b，f（xb）=bf（x），f（10）=1，由1=100，=10lg，（）2，可求相应函数值，进而由k-1002=10lg（k-1002），代入构造关于k的方程，可求出k值．
（2）设x，y∈（0，+∞），由f（xy）=f（x?）代入公式可证得f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，f（x）=f（10lgx）=lgx?f（x）=lgx＞0，设0＜x1＜x2，f（x2）=f（?x1）结合（2）中结论及函数单调性的定义，可得