已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．（1）求点B的坐标；（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA

网友回答

解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA?tan30°=6×=2，
则B坐标为（0，2）；

（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，
①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，
∴P1C1=BO=，OC1=OA=3，此时P1（3，）；
②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，
∵P2A=AO=6，∠P2AO=30°，
∴在Rt△P2AC中，P2C=P2A=3，AC2=P2Acos30°=3，
则OC2=OA-C2A=6-3，即P2（6-3，3）；

（3）当∠OBQ为直角时，如图2所示，
①若△BQO∽△OAB，则∠BOQ=∠OAB=30°，
则BQ=OBtan30°=2，即Q（2，2）；
②若△BQO∽△OAB时，则∠BOQ=∠OAB=30°，
BQ=OBtan60°=2×=6，即Q（6，2）；
当∠CQB为直角时，如图3所示，
③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
∠BOQ=∠BAO=30°，
在Rt△OQB中，BQ=OA=，OQ=OBcos30°=3，
∵在Rt△QMO中，∠OQM=30°，
∴OM=OQ=，QM=OQcos30°=，即Q（，）；
④若△QBO∽△OAB时，则∠OBQ=∠OAB=30°，作QN⊥OA，∠QON=30°，如图4所示，
∴QN=OQ=×OB=，ON=OQcos30°=，即Q（，）；
当∠BOQ为直角时，Q在x轴上，不符合要求，
综上，符合题意的点Q有四个，分别为Q1（2，2），Q2（6，2），Q3（，），Q4（，）．
解析分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA与tan30°的值求出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，求出P1C1与OC1的长，确定出此时P1的坐标；
②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C与AC2的长，进而确定出OC2的长，确定出此时P2的坐标即可；
（3）分三种情况考虑：当∠OBQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑：③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
④若△QBO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，中位线定理，相似三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二、三问分别根据P与Q的不同位置分类求解．