已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，（1）求该抛物线的对称轴；（2）

网友回答

解：（1）∵直线y=ax+3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3），
∴AO=3，
∵矩形ABCO的面积为12，
∴AB=4，
∴点B的坐标为（4，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
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（2）∵⊙P经过A、B两点，
∴点P在直线x=2上，即点P的坐标为（2，y），
∵⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4，
又∵AB=4，
∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2，
∴四边形PEAF是正方形，
∴PE=2，
∵OA=3，
∴OF=1，
同理：AM=2，
∴OM=5，
∴点P的坐标为（2，1）或（2，5）；

（3）①当△DAE∽△DAO，则∠DAE=∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N，

设点D坐标为（2，y），
则ON=DM=2，DN=OM=y，AM=y-3；
②当△DAE∽△DOA，则∠DAE=∠DOA，
∴∠DAM=∠DON，
∵∠DMA=∠DNO=90°，
∴△DAM∽△DON，
∴，
∴，
∴y2-3y-4=0，
解得：y1=-1（舍），y2=4，
∴点D坐标为（2，4）．
由顶点坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+4，
将（0，3）代入，得a=，
∴抛物线解析式为．
解析分析：（1）根据已知的直线解析式，可得到点A的坐标，进而可利用矩形的面积求出OC、AB的长，即可得到B、C的坐标，由于AB∥x轴，且同时在抛物线的图象上，根据这两点的坐标，即可确定抛物线的对称轴方程；
（2）由于⊙P同时经过点A、B，根据抛物线和圆的对称性知，圆心P必在抛物线的对称轴上，由此可确定点P的横坐标；由于⊙P与y轴两交点的距离正好等于AB的长，根据圆心角、弦的关系，即可得到P到y轴的距离应该等于P到AB的距离，由此可确定点P的纵坐标，即可得到点P的坐标；
（3）假设两个三角形相似，显然∠DAO＞∠DAE，因此只有一种情况：∠DAE=∠DOA，可过D作DM⊥y轴，作DN⊥x轴，即可得到∠DAM=∠DON，易证得△DAM∽△DON，设出点D的纵坐标，然后表示出AM、DN的长，进而根据相似三角形得到的比例线段求出点D的纵坐标，也就得到了点D的坐标，而后可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．

点评：此题考查了二次函数、圆的对称性，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数解析式的确定等重要知识，涉及知识点较多，难度较大．