已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx.在x=1和x=3处取得极值.试求b,c的值;

网友回答

(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，据题意知x=1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，

∴1-b=4，c=3，即b=-3，c=3.                                              

(2)∵f(x)在x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)上单调递增，∴f′(x)＞0，

又f(x)在(x1,x2)上单调递减，∴f′(x)＜0.∴f′(x1)=f′(x2)=0,

∴x1,x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，故有                   

∵x2-x1＞1，∴(x2-x1)2＞1,

∴(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(b-1)2-4c=b2-2(b+2c)+1＞1,

∴b2＞2(b+2c).