如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．（1）证明：直线PB是⊙O的切线；（2）探究线段PO与线段BC

网友回答

（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．???????????????????????????????????????????
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线．??????????????????????????????????????????

（2）解：2PO=3BC．（写PO=BC亦可）
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．????????????????????????????
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．???????????????????????????????????
∴，
∴2PO=3BC．????????????????????????????????????????????????

（3）解：∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴，
即DC=OD．
∴OC=OD，
∴DC=2OC．???????????????????????????????????????????????
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2，即2x2=y2．
∵x＞0，y＞0，
∴y=x，OP==x．????????????????????????????
∴sin∠OPA====．??????????????????????????
解析分析：（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△POB≌△POA得证．
（2）根据切线长定理PA=PB．BD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3．
根据BC∥OP可得△DBC∽△DPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系．
（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值．设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y与x的关系，进而在△POB中求OP与x的关系，从而求比值得解．

点评：此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大．