已知两同心圆的圆心为O，过小圆上一点M作小圆的弦MA和大圆的弦BMC，且MA⊥BC，求证：AB2+BC2+CA2为定值．

网友回答

证明：过O点作BC垂线，设垂足为D；作MA垂线，设垂足为E，
设MB=a，MC=b，MA=c，大圆的半径为R，小圆的半径为r，
∵MA⊥BC，
∴AB2+AC2+BC2=（a2+c2）+（a2+b2）+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab，
∵OD⊥BC，OE⊥MA，
∴CD=（a+b），ME=，
∴在Rt△ODC中，[（a+b）]2+（）2=R2，
在Rt△OME中，[（b-a）]2+（）2=r2，
∴求得方程组：
解方程组的得：，
∴AB2+AC2+BC2=2（a2+b2+c2）+2ab=2（2R2+2r2）+2R2-2r2=6R2+2r2，
∴AB2+BC2+CA2为定值．
解析分析：如图，首先根据题意画出图形，过O点作BC垂线，设垂足为D；作MA垂线，设垂足为E，设MB=a，MC=b，MA=c，由Rt△ODC和Rt△OME，推出方程组：，然后，把a2+b2+c2和2ab分别看做两个整体，通过解方程组求出a2+b2+c2和2ab的值，最后通过等量代换即可推出AB2+AC2+BC2=6R2+2r2，为定值．

点评：本题主要考查勾股定理、垂径定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，推出AB2+AC2+BC2=2（a2+b2+c2）+2ab，推出关于a2+b2+c2和2ab的方程组，解方程即可，正确地进行等量代换．