如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．（1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；（3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O1的切线．
网友回答
答案:分析：（1）利用中位线定理可得∠BO1F=∠CO2F，进而可得∠DO1F=∠FO2E，易得O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，可得：△DO1F≌△FO2E；
（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC的长，利用勾股定理可得BC的长，利用顶点A及AB边构造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的长即为PQ的长；
（3）需证∠6+∠8=90°，那么证明∠5+∠7=90°即可；利用四点共圆的性质可得△DBR≌△DAM，进而可得∠5=∠9，即可求证．