如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=3，∠A=30°，求⊙O的半径．

网友回答

（1）证明：连接OD．（如图1）
∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥BC．
∴∠ODE=∠DEC．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．

（2）连接BD．（如图2）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴BD⊥AC，∠CDE+∠BDE=90°．
∵点D是AC的中点，
∴AB=BC．
∴∠A=∠C=30°．
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠CDE=90°．
∴∠C=∠BDE=30°．
∴DE=CE?tan30°=3×=，
 BE=DE?tan30°=×=1．
∴BC=1+3=4．
∴OD=BC=2．
即⊙O的半径为2．
解析分析：（1）连接OD．证明DE⊥OD即可．根据三角形中位线定理可证；
（2）可证∠C=∠ADO=∠A=30°．连接BD可得△BCD为直角三角形，解之可求BE、BC的长度，根据中位线定理求OD得解．


点评：此题考查了切线的判定方法、三角形的中位线定理、解直角三角形等知识点，有一定的综合性，但难度不大．