如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD∥OC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:点E是的中点;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)若AD=6,⊙O的半径为5,求弦DF的长.
网友回答
(1)连接OD,∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OD
∴∠OAD=∠BOC,∠DOC=∠ODA,
∴∠DOC=∠BOC,
∴
∴点E为的中点
(2)∵在△BOC与△DOC中,
∴△BOC≌△DOC(SAS)
∴∠CDO=∠CBO=90°,
∴CD为⊙O的切线;
(3)∵AB⊥DF
∴2DG=DF
设AG=x,则OG=5-x
在Rt△ADG和Rt△ODG中,由勾股定理得:62-x2=52-(5-x)2
解得:
∴DG=
∴DF=2DG=9.6
解析分析:(1)连接OD.欲证明点E为的中点,只需证明∠DOC=∠BOC即可;
(2)若证明CD是⊙O的切线,需要证明∠ODC=90°,即OD⊥CD;
(3)利用垂径定理推知△ADG和△ODG都是直角三角形,所以在这两个直角三角形中利用勾股定理来求线段DG的长度.
点评:本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.