如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，D是CM上一点，连接BD，且∠DBC=∠CAB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）连接OD，若∠

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解：（本题满分6分）
（1）证明：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°．
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：连接OC，OD．
∵DC，DB是⊙O切线，
∴DC=DB．
∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DBC+∠BDE=90°；
∵∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠ABC；
∵∠ABC=30°，
∴∠BDE=30°，
∴OB=OD；
∵OB=OA=4，
∴OD=8．
解析分析：（1）要证明BD是⊙O的切线，就是证明∠ABD=90°，通过直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再进行角度代换即可．
（2）连DO，这也是常作的辅助线，再通过特殊角找到OD与OB的关系．

点评：熟练掌握运用切线的判定定理证明圆的切线．学会圆的常见辅助线的作法．记住30°所对的直角边是斜边的一半．