递归数列极限的求法,递归数列特征方程的推导过程

网友回答

首先x0>0 所以zdxn>0 在证明x(n)<x(n-1){因为arctanx-x的导数在x>0是小于0且arctan0-0=0所以x>0时arctanx-x<0即x(n)<x(n-1)} 由上可知数列回递减有下限 极限存在 设为A 两边求极限的答A=arctanA 所以A=0

网友回答

a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
　　其特征方程为x^2-p*x-q=0
　　i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β
　　则an=A*α^e5a48de588b6e799bee5baa631333332626665n+B*β^n
　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
　　ii.若其有两个相等的根α
　　则an=(A*n+B)*α^n
　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.
　　最终可得：
　　当{an}有两个不等的特征根为根α,β时
　　由
　　a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
　　a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)
　　得
　　an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
　　或由
　　A*α+B*β=a1
　　A*α^2+B*β^2=a2
　　可得
　　A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
　　B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)
　　得
　　an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
　　当特征根为重根α时
　　由
　　an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
　　α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
　　…
　　α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
　　an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)
　　得
　　an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
　　或由
　　(A+B)*α=a1
　　(2*A+B)*α^2=a2
　　可得
　　A=(a2-a1*α)/(α^2)
　　A=(2*a1*α-a2)/(α^2)
　　得
　　((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
　　由于
　　α+β=A
　　α*β=-B
　　由韦达定理，可构造一元二次方程
　　x^2-p*x-q=0
　　此即为二阶常系数齐次线性递推数列
　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
　　的特徵方程
　　特殊的，当二阶常系数齐次线性递推数列
　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
　　的特徵根为重根α=1时
　　即p=2，q=-1
　　a(n+2)=2*a(n+1)-an
　　此时，二阶常系数齐次线性递推数列
　　a(n+2)=2*a(n+1)-an
　　为等差数列