抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大

网友回答

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴y=-x2+2x+3，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=-x+3，
过点D作BC的平行直线，设解析式为y=-x+d，
联立，
消掉y得，-x2+2x+3=-x+d，
整理得，x2-3x-3+d=0，
当△=0时，方程有两个相等的实数根，此时点D到BC的距离最大，△BDC的面积最大，
所以，x=-=，
∵PD∥y轴，
∴点P的横坐标为，
此时y=-+3=，
∴点P的坐标为（，）；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4），
过点C作CG⊥EF，则CG=1，
①点N在EG上时，点N与点E重合时，点M的横坐标最大，
∵点C（0，3），E（1，4），
∴GE=1，
∴∠CEG=45°，
∵∠MNC=90°，
∴∠MEF=90°-45°=45°，
∴MF=EF=4，
∴OM=4+1=5，
∴点M的坐标为（5，0），
即m的最大值为5，
②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，
即=，
整理得，MF=-x2+3x=-（x-）2+，
所以，当x=时，MF有最大值，
MO=MF-OF=-1=，
所以，点M的坐标为（-，0），
所以，m的最小值为-，
因此，实数m的变化范围为-≤m≤5．
故