如图，⊙O1和⊙O2内切于点A，⊙O2的弦BC经过⊙O1上一点D，AB、AC分别交⊙O1于E、F，AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O1的切线；（2）若⊙O1与⊙

网友回答

（1）证明：过点A作两圆外切线PQ，作⊙O1的直径DK，连接KF，EF，
则∠EFA=∠PAB，∠C=∠PAB．
∴∠EFA=∠C．
∴EF∥BC．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDC=∠EFD=∠BAD=∠CAD=∠DKF．
∵DK是⊙O1的直径，∴∠KDF+∠DKF=90°，∠FDC+∠KDF=90°．
∴DO1⊥DC．
∴BC是⊙O1的切线．

（2）解：连接O1O2，则直线O1O2必过A点，
作O1M⊥AB，O2N⊥AB，M，N为垂足，则O1M∥O2N，
且AM=AE?AN=AB，
∴．
∴AE=2BE，AB=3BE．
∵BC切圆O1于D，∴BD2=BE?BA=3BE2
∴BE2=4．
∵BE＞0，∴BE=2，∴AB=3BE=6
∵BD为⊙O2的切线，∴∠ADB=∠AFD，
∴，
∴AD=．
解析分析：（1）过点A作两圆外切线PQ，作⊙O1的直径DK，连接KF，EF，首先证明由∠EFA=∠C证明EF∥BC，最终可证明∠FDC+∠KDF=90°；
（2）连接O1O2，则直线O1O2必过A点，作O1M⊥AB，O2N⊥AB，M，N为垂足，首先证明AE、BE、AB的等量关系，根据切线定理，即可算出BE、AB，最后计算出AD．

点评：本题考查了切线的判定，平行线分线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．