已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）讨论函数的零点的个数．

网友回答

解：（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数
∴满足f（0）=0，
∴ln（1+a）=0，
∴a=0
可以验证当a=0时，函数是一个奇函数．

（2）由已知得：
令，f2（x）=x2-2ex+m
∴
当x∈（0，e）时，f1′（x）≥0
∴f1（x）在（0，e）上是一个增函数；
当x∈[e，+∞）时，
f′1（x）在[e，+∞）上为减函数．
当x=e时，f1（x）的最大值是
而f2（x）=（x-e）2+m-e2
∴当m-e2，即m时，方程无解；
当m-，即m=时，方程有一个根；
当m-时，m时，方程有两个根．
解析分析：（1）根据函数在全体实数上有定义，函数又是一个奇函数，得到函数在自变量0的取值是0，写出关于a的方程，解方程即可．
（2）把函数变化为两个基本函数，对于函数的单调性的整理，根据函数的导函数大于零，得到函数递增，根据函数的单调性求出函数的最值，利用函数的最值进行比较得到结果．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点的判断方法，考查函数的导函数的应用，考查利用最值进行比较，得到函数的有无解的情况，本题是一个综合题目．