连续平方和的公式,前n项的平方和公式是怎么推导出来？

网友回答

请问你想问的是an=n^2的前n项和的公式吧
　　Sn=1/6n(n+1)(2n+1)
　　具体做法，用待定系数法来做，因为an=n^2的次数为2，那么前n项和的次数必定为3
　　设Sn=an^3+bn^2+cn+d
　　S1=a+b+c+d=1
　　S2=8a+4b+2c+d=5
　　S3=27a+9b+3c+d=14
　　S4=64a+16b+4c+d=30
　　(这里为什么要算到n=4，因为有4个未知数，需要有4个等式，所以要算到n=4)
　　所以a=1/3，b=1/2，c=1/6，d=0
　　所以Sn=1/3n^3+1/2n^2+1/6n=1/6n(n+1)(2n+1)

网友回答

利用的立方差公式来推导a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
　　所以：n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1
　　则：
　　1³=3×1²-3×1+1
　　2³-1³=3×2²-3×2+1
　　……
　　n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1
　　上述等式相加得到：n³=3×(1²+2²+3²+……+n²)-3×(1+2+3+……+n)+n
　　==> n³=3∑n²-3×[n(n+1)/2]+n
　　==> 3∑n²=n³+[3n(n+1)/2]-n=(2n³+3n²+3n-2n)/2
　　==> 3∑n²=[n(2n²+3n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/2
　　所以，∑n²=n(n+1)(2n+1)/6