前n项的平方和公式是怎么推导出来的,1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的？

网友回答

利用的立方差公式来推导a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
　　所以：n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1
　　则：
　　1³=3×1²-3×1+1
　　2³-1³=3×2²-3×2+1
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　　n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1
　　上述等式相加得到：n³=3×(1²+2²+3²+……+n²)-3×(1+2+3+……+n)+n
　　==> n³=3∑n²-3×[n(n+1)/2]+n
　　==> 3∑n²=n³+[3n(n+1)/2]-n=(2n³+3n²+3n-2n)/2
　　==> 3∑n²=[n(2n²+3n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/2
　　所以，∑n²=n(n+1)(2n+1)/6

网友回答

1、1到N的平方和推导：1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
　　由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
　　∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
　　a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
　　a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
　　a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
　　a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
　　......
　　a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
　　等式两边相加：
　　（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）
　　3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）
　　3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
　　6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
　　=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
　　=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
　　=n(n+1)(2n+1)
　　∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
　　2、1到N的立方和推导:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
　　推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
　　n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
　　......
　　2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
　　把这n个等式两端分别相加,得：
　　(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　
　　代人上式整理后得：
　　1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2