已知如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A

网友回答

解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），
即x2+2x-3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．

∵直线l：y=x+，
当x=-3时，y=×（-3）+=0，
∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=x+对称，
∴AH=AB=4，
如图1，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=AB=2，HC=2，
∴顶点H（-1，2），
代入二次函数解析式，解得a=-，
∴二次函数解析式为y=-x2-x+，
答：二次函数解析式为y=-x2-x+，

（3）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2），
∴AH==4，
∵B点坐标为（1，0），点H（-1，2），
∴BH==4，
∵A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
∴AB=4，即AB=AH=BH=4，
∴△ABH是等边三角形，
如图2，过点S作SC⊥AB于点C，过点S1作S1E⊥AB于点E，
设当t秒时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
则AS=t，AC=t，SC=t，
此时SC=CO，
即t=3-t，
解得：t=3（-1），
同理可得：S1B=AH+HB-t=8-t，BE=，S1E=，
当EO=S1E，
即1-=，
解得：t=9-，
故当t=3（-1）或t=9-时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．

（4）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2），
∴将两点代入解析式y=kx+b，
得出，
解得：，
故直线AH的解析式为y=x+3，
∵直线BK∥AH交直线l于K点，
∴直线BK的解析式为：y=x+b，
将B点坐标代入求出，
直线BK的解析式为：y=x-，
由，
解得，
即K（3，2），
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2，
如图3，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2，
则QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
解析分析：（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y=x+对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）首先判定△ABH是等边三角形，进而构造直角三角形得出t的值即可；
（4）得出直线AH，BK的解析式，得到方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出