等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D和E在AB边上,AD=3,BE=4,∠DCE=45°,则DE=________或________.
网友回答
5 7-2
解析分析:根据题意画出图形,分两种情况讨论.根据∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°判断出△ACE∽△CDE∽△BDC,利用相似三角形的性质列出比例式,由比例式得到关于x的方程,解方程可得到DE的长.
解答:如图1:设DE=x,则AB=7+x,
∵∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°
∴△ACE∽△CDE∽△BDC,
设CD=a,CE=b,
则有以下等式:
x:b=b:3+x,
x:a=a:4+x,
x:a=b:AC,
整理得,b2=x(x+3),
a2=x(x+4),
x?AC=ab,
x2(x+3)(x+4)=a2b2=x2?AC2=,
解得,x=5;
如图2:与(1)类似,
得12x2=a2b2=,
x=7-2或x=7+2>7(舍去),
∴x=5或x=7-2.
点评:本题考查了等腰直角三角形,根据角的值证出三角形相似并建立关于ED的方程是解题的关键.