如图，在直角坐标系中，点C（，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求出点B的坐标；
（2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为______；②点M移动的平均速度是______．
网友回答
解：（1）由题意得：OD=1，OC=，由勾股定理得：DC=2．
∵BE是DC的中垂线，
∴DE=1，∠DEB=90°．
在△DEB与△DOC中，
，
∴△DEB≌△DOC（ASA），
∴BD=DC=2，
∴BO=1，
∴B（0，-1）；
（2）分两种情况：
①当点P在x轴的正半轴上时，
由已知得，CP=，OP=CO-CP=，OQ=t．
由题意得：，
即：，
解得；
②当点P在x轴的负半轴上时，
由题意得：，
即：，
解得．
综上所述：当，△POQ与△COD相似；
（3）S=S△PQB+S△EQB==，
即S关于t的函数关系式为：S=，
∵点P在x轴负半轴上，
∴t＞，
又∵当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，而点Q运动时间为1秒，
∴t≤1，
∴自变量t的取值范围为：＜t≤1；
（4）①当P'Q'与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，A为BE与x轴的交点．
由已知得，，
∴，
∴，
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，
∴．
设P'Q'的中点为F，当时，．
把代入y=ax2+1，得：a=-16．
当t=1时，，
把代入y=ax2+1，得：a=-2，
∴a的取值范围为：-16≤a≤-2；
②初始位置的抛物线为y=-16x2+1，此时，
终止位置的抛物线为y=-2x2+1，此时，
∴，
∵移动的时间为秒，
∴点M移动的平均速度为每秒个单位．
故