如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．（1）求△DEF与△ABC的面积

网友回答

解：（1）如图，过点D作DG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H，则DG∥AH，
所以△BDG∽△BAH，又，BE=BC，
所以DG=AH，S△BDE=S△ABC，
同理S△ADF=S△CEF=S△ABC
所以S△DEF=S△ABC-S△ADF-S△CEF=S△ABC．


（2）分别延长DP，FP交AF，AD于M，N，因为点P是△ADF的三条中线的交点，
所以M，N分别是AF，AD的中点，且DP=DM，
过点P，M分别作DF的垂线，垂足分别为K，S，则△DKP∽△DSM，相似比为2：3，所以KP=SM，
S△PDF=S△MDF，
又S△MDF=S△ADF，得
S△PDF=S△ADF．
（3）由（2）知，
S△QDE=S△BDE，S△REF=S△CEF，
所以S△PDF=S△QDE=S△REF=S△ABC．
所以SPDQERF=S△DEF+S△PDF+S△QDE+S△REF=S△ABC．
解析分析：（1）分别过A，D两点作BC的垂线，得到△BDE和△ABC的面积关系，用同样的方法可以得到△ADF，△CEF与△ABC的面积的关系，然后求出△DEF与△ABC面积的比．（2）点P是△ADF的重心，延长DP，FP，根据三角形重心的性质计算可以求出△PDF和△ADF的面积的比．（3）根据（1）（2）两题的结论，得到△DQE和△EFR与△BDE和△CEF的面积关系，求出多边形与三角形的面积的比．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）过D，A两点作BC的垂线，得到两相似三角形，利用相似三角形的性质，求出两三角形的面积的比．（2）根据重心的性质可以求出两三角形的面积的比．（3）利用（1）（2）的结论可以求出多边形与三角形面积的比．