已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2),与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2=OA?OB.(1)求二次函数的解析式;(2)求

发布时间:2020-08-12 05:58:20

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2),与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2=OA?OB.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.

网友回答

解:(1)∵抛物线顶点坐标为(1,-2),
设顶点式为y=a(x-1)2-2=ax2-2ax+a-2,A(x1,0),B(x2,0),
则x1x2=,C(0,a-2),
由OC2=OA?OB,得(a-2)2=|x1x2|=||,即a3-4a2+4a=|a-2|,
当0<a<2时,有a3-4a2+5a-2=0
即(a-1)2(a-2)=0,
解得a1=1或a2=2(舍去)
由a=1得y=x2-2x-1;
当a>2时,有a3-4a2+3a+2=0
即(a-2)(a2-2a-1)=0
解得a1=2(舍去),a2=1+,a3=1-(舍去),
故a=1+,y=(1+)x2-(2+2)x+-1,
故 所求二次函数解析式为:y=x2-2x-1或y=(1+)x2-(2+2)x+-1;
(2)由S△ABC=|AB|?|OC|,有两种情况:
①当y=x2-2x-1时,
|AB|=|x1-x2|==2,
又|OC|=1,故S△ABC=×2×1=;
②当y=(1+)x2-(2+2)x+-1时,
|AB|=|x1-x2|==2,
又|OC|=-1,则
S△ABC=×2×(-1)=(-1).
故所求△ABC的面积为(-1)或.
解析分析:(1)已知顶点坐标为(1,-2),可设顶点式为y=a(x-1)2-2=ax2-2ax+a-2,设A(x1,0),B(x2,0),则x1x2=,C(0,a-2),由OC2=OA?OB,将相应点的坐标代入,列方程求a,即可求二次函数解析式;
(2)根据二次函数解析式及AB=|x1-x2|,利用求根公式求AB,点C到线段AB的距离为高,可求△ABC的面积.

点评:本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法.关键是根据条件确定抛物线解析式的形式,再求其中的待定系数.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);顶点式y=a(x-h)2+k,其中顶点坐标为(h,k);交点式y=a(x-x1)(x-x2),抛物线与x轴两交点为(x1,0),(x2,0).
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