解答题设数列{an}满足a1 = 3，an+1 = 2an＋n·2n+1＋3n，n≥1。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项之和Sn。
网友回答
（1）an=2n-1·(n2-n)＋3n；（2）Sn= - (n-2)·2n+1＋(n-1)·n·2n-4= - (n-2)·2n+1＋(n-1)·n·2n-4解析 (1) an= 2an-1＋(n-1)·2n＋3n-1=2[2an-2+(n-2)·2n-1＋3n-2]＋(n-1)·2n＋3n-1=22an-2＋[(n-2)＋(n-1)]·2n＋(2·3n-2＋3n-1)=22[2an-3＋(n-3)·2n-2＋3n-3]＋[(n-2)＋(n-1)]·2n＋(2·3n-2＋3n-1)=23an-3＋[(n-3)＋(n-2)＋(n-1)]·2n＋(22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1)=……=2 n-1a1＋[1＋2＋3＋…＋(n-1)]·2n＋(2n-2·3＋2n-3·32＋…＋3n-1)=2n-1·3＋·2n＋2n-2·3·=2n-1·(n2-n＋3)＋2n-1·3[()n-1-1]=2n-1·(n2-n)＋3n。(2)设数列{bn}，其中bn =2n-1·(n2-n)，Mn 为其前n项和，则Sn= Mn＋3n。Mn =0＋1·2·21＋2·3·22＋3·4·23＋…＋(n-1)·n·2n-1，2Mn = 1·2·22＋2·3·23＋…＋(n-1)·n·2n，相减得 - Mn = 1·2·2＋2·2·22＋3·2·23＋…＋2·(n-1)·2n-1- (n-1)n·2n=1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n-1)·2n- (n-1)n·2n，-2 Mn = 1·23＋2·24＋3·25＋…＋(n-1)·2n+1- (n-1)·n·2n+1，相减得 Mn = 1·22＋23＋24＋…＋2n- (n-1)·2 n+1＋(n-1)n·2n = (2-n)·2 n+1＋(n-1)·n·2n-4，Sn = Mn＋3＋32＋…＋3n= - (n-2)·2n+1＋(n-1)·n·2n-4。