已知：二次函数y=a（x-1）2+4的图象如图所示，抛物线交y轴于点C，交x轴于A、B两点，用A点坐标为（-1，0）．（1）求a的值及点B的坐标．（2）连接AC、BC

网友回答

（1）解：把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）2+4，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1，
∴y=-（x-1）2+4，
令y=0，-（x-1）2+4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴B点坐标为（3，0）；

（2）证明：∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴=；

（3）解：在线段AB上存在一点R，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似．理由如下
对于y=-（x-1）2+4，令x=0，y=3，
∴C点坐标为（0，3），
∴△OBC为等腰直角三角形，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3；
同理可得直线AC的解析式为：y=-3x+3；
∵E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，
∴P点坐标为（-1，n），Q点的坐标为（3-n，n），
∴QP=3-n-（-1）=4-；
若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，
∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，
当∠PQR=90°，QR=QP，如图，
∵PQ∥AB，
∴QR⊥AB，
∴QR=OE=n，
∴n=4-，
解得n=，
∴R的坐标为（，0），
当∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n=，得P点坐标为（-，），则R点坐标为（-，0）；
当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，如图，
∴HR=PQ，
∴n=（4-），
解得n=，
∴P点的坐标为（-，），Q点的坐标为（，），
∴R点的坐标为（，0）．
所以当n=，R的坐标为（，0）或（-，0）；当n=，R点的坐标为（，0）．
解析分析：（1）把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）2+4，可求得a=-1，然后令y=0，得到-（x-1）2+4=0，解方程得到x1=-1，x2=3，即可得到B点坐标；
（2）由直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，得到PQ∥AB，则△CPQ∽△CAB，即可得到结论；
（3）利用待定系数法分别求出直线BC的解析式为：y=-x+3；直线AC的解析式为：y=-3x+3；由E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，得到P点坐标为（-1，n），Q点的坐标为（3-n，n），则QP=3-n-（-1）=4-；若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，则以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，然后分类讨论：当∠PQR=90°，QR=QP，得到n=4-；当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，根据HR=PQ，得到n=（4-），分别解方程可得到n的值和对应的R点的坐标．

点评：本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标的方法；也考查了利用待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．