椭圆x^2/3+y^2=1,M(0,-1),是否存在斜率为k的直线l,使l与椭圆交于不同的两点A,B,|MA|=|MB|,求k取值范围
网友回答
设y=kx+b为AB所在直线方程,设A（x1,y1）,B(x2,y2）,AB中点C(x3,y3）
则x3=(x1+x2)/2,y3=(y1+y2)/2
将直线方程代入椭圆方程,整理得：x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0
则x1+x2=-6kb/（1+3k²）,所以x3=-3kb/（1+3k²）
y1+y2=k（x1+x2）+2b=[-6k²b/（1+3k²）]+2b,整理得y3=b/（1+3k²）
故C（-3kb/（1+3k²）,b/（1+3k²））
由于|MA|=|MB|,可知C点在AB的垂直平分线上
则Kab*Kcm=-1
即k{[b/(1+3k²）]+1}/[-3kb/(1+3k²）]=-1
解得b=(3k²+1）/2
由于x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0的判别式要大于0
则36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）>0整理得3k²-b²+1>0把b²换成[(3k²+1）/2]²
整理得3k^4-2k²-1即（3k²+1）（k²-1）显然3k²+1恒大于0,可以约掉,则：
k²-1解得k∈（-1,1）